Bienvenido al blog Estrategias con Azar

Este sitio esta dedicado a la difusión y aprovechamiento de la Teoría de las Probabilidades y Estadística. El grupo de trabajo esta integrado por docentes de la cátedra de Probabilidades y Estadística de la FCEyT de la Universidad Nacional de Santiago del Estero y por colaboradores.
A continuacion les dejamos la informacion de contacto:

  1. Correo: estrategiasconelazar@gmail.com
  2. Tel: (0385)-450-95-60 interno (1854)


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En nuestro labor docente compartimos la visión del profesor Rao, expresada en la siguiente frase:

“La vida sería intolerable si los fenómenos ocurrieran al azar de una forma completamente impredecible y carecería de interés si, en el otro extremo, todo fuera determinista y completamente predecible. Cada fenómeno es una curiosa mezcle de ambos”

Autor: Radhakrishna Rao
Libro: Estadistica y verdad, aprovechando el azar

A continuación presentamos un applet en geogebra, en donde mostramos el azar que genera la trayectoria de una bolita cuando se la deja caer desde el extremo superior y sufre las perturbaciones de clavos dispuestos en forma piramidal, como se ve en la figura.
Podemos notar que la posición final de la bolita en la base de la estructura sigue una distribución normal (campana de Gauss).

Adicionalmete se presenta un video llamado From Chaos to Order on the Galton Machine — Representing the Returns of Capitalism (Del caos al orden en la máquina de Galton – En representación de las devoluciones del capitalismo) realizado por la empresa IFA, Index Funds Advisors, Inc. (Índice de Fondos Asesores) en 2009 en donde se puede apreciar como a partir del caos surge el orden.

 

Una herramienta para la enseñanza-aprendizaje de probabilidades y estadistica

En la cátedra, construimos un mapa conceptual para la asignatura probabilidades y estadísticas que es a la vez una herramienta muy útil para la enseñanza – aprendizaje de dicha disciplina.                                                                                                                                                 Esta herramienta ha sido construida a partir de los conceptos definidos por William Gosset (Student) en la revista Biometrika 1908: “Cualquier experimento puede considerarse como si fuera un individuo de una población de experimentos que podrían desarrollarse bajo idénticas condiciones. Una serie de experimentos es una muestra tomada de esta población. Ahora bien, una serie de experimentos es de valor únicamente en cuanto que nos permite formar un juicio acerca de las constantes estadísticas de la población a que pertenecen los experimentos”

William S. Gosset – seudonimo Student

Revista Biometrika 1908

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A continuación el mapa conceptual mencionado que lo explicaremos a traves de numerosos ejemplos
mapaConceptual

Teoría de Colas

Introducción

Todos hemos pasado por la experiencia de esperar en una cola a ser atendidos por un determinado servicio. El fenómeno de las colas ya nos parece muy natural: esperamos a ser atendidos como pacientes en un consultorio médico, en un cajero automático, en la atención de automóviles en una estación de servicio o peaje. El término “cliente” se usa con un sentido general y no implica que sea un ser humano, puede significar piezas esperando su turno para ser procesadas o una lista de trabajo esperando para imprimir en una impresora en red…entre tanto otros ejemplos de la vida cotidiana.

 cola1

Es por esto que este problema sera abordado es este apartado.Tratando asi los Modelos,  y simulando a través de un software la dinámica del sistema de líneas de espera de una cola y un servidor, tratando de verificar los resultados teóricos  de los parámetros que caracterizan su estudio.

Marco Teórico

—  Colas Simples

Una cola simple es un sistema al que los clientes llegan, forman una sola cola mientras esperan a ser atendidos en el orden de su llegada, y, son atendidos por un único servidor. El modelo de cola simple consta de las siguientes variables: dos variables exógenas, el tiempo entre llegadas y el tiempo de servicio; dos variables endógenas, el tiempo de espera de un cliente y el tiempo de ocio del servicio, y el estado del servicio en determinado momento, si es ocupado o desocupado.

Servidor Es el que tiene una cierta capacidad de atención al cliente ubicado en una línea de espera. Se caracteriza por el tipo y tiempo de servicio.

Cliente Es el que tiene que esperar en la línea de espera y ser atendido a través de una disciplina de colas. Se caracterizan por los intervalos de tiempo que separan sus llegadas.

Cola es una línea de espera.

 

Características de las Colas

Seis son las características básicas que se deben utilizar para describir adecuadamente un sistema de colas:

  1. —Patrón de llegada de los clientes
  2. Patrón de servicio de los servidores
  3. Disciplina de cola
  4. Capacidad del sistema
  5. Número de canales de servicio
  6. Número de etapas de servicio

 Patron de llegada de los cliente

   En situaciones de cola habituales, la llegada es estocástica, es decir, depende de una cierta variable aleatoria, en este caso es necesario conocer la distribución probabilística entre dos llegadas de cliente sucesivas (Poisson y Distribución exponencial).

Patron de servicio de los servidores

Los servidores pueden tener un tiempo de servicio variable, en cuyo caso hay que asociarle, para definirlo, una función de probabilidad. También pueden atender en lotes o de modo individual. El tiempo de servicio también puede variar con el número de clientes en la cola, trabajando más rápido o más lento, y en este caso se llama patrones de servicio dependientes.

Disciplina de cola

La disciplina de cola es la manera en que los clientes se ordenan en el momento de ser servidos de entre los de la cola. Cuando se piensa en colas se admite que la disciplina de cola normal es FIFO (atender primero a quien llegó primero).

Capacidad del sistema

En algunos sistemas existe una limitación respecto al número de clientes que pueden esperar en la cola. A estos casos se les denomina situaciones de cola finitas. Esta limitación puede ser considerada como una simplificación en la modelización de la impaciencia de los clientes.

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La teoría de colas proporciona un gran número de modelos matemáticos para describir una situación de línea de espera. Con frecuencia se dispone de resultados matemáticos que predicen algunas de las características de estos modelos.

El proceso básico supuesto por la mayor parte de los modelos de colas es el siguiente. Los clientes que requieren un servicio se generan a través del tiempo en una fase de entrada. Estos clientes entran al sistema y se unen a una cola. En determinado momento se selecciona un miembro de la cola, para proporcionarle el servicio, mediante alguna regla conocida como disciplina de servicio. Luego, se lleva a cabo el servicio requerido por el cliente en un mecanismo de servicio, después de lo cual el cliente sale del sistema de colas.

Especificaremos el modelo estadístico mediante el cual se generan los clientes a través del tiempo.

La suposición normal es que se generan de acuerdo a un proceso Poisson, es decir, el número de clientes que llegan hasta un tiempo específico tiene una distribución Poisson. En nuestro caso corresponde a aquel cuyas llegadas al sistema ocurren de manera aleatoria pero con cierta tasa media fija y sin importar cuántos clientes están ya ahí (por lo que el tamaño de la fuente de entrada es infinito).

Una suposición equivalente es que la distribución de probabilidad del tiempo que transcurre entre dos llegadas consecutivas es exponencial.

Dicho de otra manera, el tiempo entre diferentes llegadas de clientes sigue una distribución exponencial.

Adoptar la distribución de Poisson implica que la probabilidad de que lleguen n clientes en un intervalo de tiempo t es:

1

El tiempo entre llegadas se define, de este modo, como la probabilidad de que no llegue ningún cliente:

2

Se hace referencia al tiempo que transcurre entre dos llegadas consecutivas como tiempo entre llegadas.

El tiempo que transcurre desde el inicio del servicio para un cliente hasta su terminación en una instalación se llama tiempo de servicio (o duración del servicio). De la misma manera como  describen matemáticamente los procesos de llegada, los tiempos de servicio probabilísticos se describen mediante una distribución de probabilidad. Una distribución que ha demostrado ser útil es la distribución exponencial. Para este caso tenemos la siguiente relación:

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Simulación

   Se generaran los valores aleatorios siguiendo las distribuciones dadas y se calculará los valores de las variables endógenas para cada par de valores generados y como se fue acumulando en otras variables.

Se presenta un reporte con los resultados sobre el número de arribos, número de servicios completados, unidades de tiempo simuladas, tiempo total de espera, tiempo total de ocio y cola promedio. Además, se también observara los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicio que habían sido generados, así como los instantes en que se terminó de usar el servicio.

Se inicia con la introducción de los parámetros lambda (λ) y mu (μ) con los siguientes valores: λ = 5 y μ = 7. El tiempo de funcionamiento lo determinamos fijo, de 8:00 hs. a 12:00 hs. también ingresado por teclado, pero como nuestra unidad de tiempo elegida es un minuto, serán 240 minutos. Con un tiempo de observación igual a 125 minutos.

Se calcula el factor de utilización (ro) con los parámetros ingresados (λ) y (μ): ρ = λ/μ

El período de llegada o tiempo promedio que transcurre entre dos llegadas consecutivas, se calcula para un día (una corrida del software): 1/λ

El tiempo promedio de atención a un cliente, se calcula para un día (una corrida del software): 1/μ

como muchas otros datos que se visualizaran a  continuacion en las capturas presentadas.